Cinématique
La cinématique est l'étude des mouvements des systèmes mécaniques sans tenir compte des forces qui les provoquent. Elle permet de décrire la trajectoire, la vitesse et l'accélération d'un point ou d'un solide dans un repère donné.
Objectifs
- Définir et calculer la vitesse et l'accélération d'un point en mouvement
- Identifier la nature d'un mouvement (rectiligne, circulaire, curviligne) à partir de sa trajectoire
- Appliquer les relations cinématiques pour analyser le mouvement d'un mécanisme
Référentiel et repère
Tout mouvement est défini par rapport à un référentiel (objet de référence considéré fixe). On associe à ce référentiel un repère orthonormé (O, x, y, z). La position d'un point M est donnée par ses coordonnées (x(t), y(t), z(t)). La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par un point au cours du temps.
Vitesse d'un point
La vitesse instantanée d'un point M est la dérivée de son vecteur position par rapport au temps : v = dOM/dt. Son module s'exprime en m/s. En mouvement circulaire, la vitesse tangentielle est v = omega x R, où omega (rad/s) est la vitesse angulaire et R le rayon de la trajectoire (m). En mouvement rectiligne uniforme, v = constante = d/t (distance sur temps).
Accélération d'un point
L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps : a = dv/dt, exprimée en m/s². En mouvement circulaire, on distingue l'accélération tangentielle at = dv/dt (variation de la norme de v) et l'accélération normale an = v²/R = omega² x R dirigée vers le centre (accélération centripète). L'accélération totale est a = racine(at² + an²).
Mouvement de rotation et transmission
En SI, les mouvements de rotation sont caractérisés par la vitesse angulaire omega (rad/s) et par la fréquence de rotation n (tr/min ou tr/s). La relation est omega = 2 x pi x n (avec n en tr/s). Pour un arbre tournant, la vitesse périphérique en un point à la distance R du centre vaut v = omega x R. Ces relations permettent d'analyser les transmissions par courroie, engrenage ou chaîne.
Relations et formules clés
v = omega x Rv en m/s, omega en rad/s, R en m. Donne la vitesse d'un point sur un solide en rotation à la distance R de l'axe.
an = v² / R = omega² x Ran en m/s², dirigée vers le centre de courbure. Mesure le changement de direction de la vitesse en mouvement circulaire.
omega = 2 x pi x nomega en rad/s, n en tr/s. Convertit la fréquence de rotation en vitesse angulaire utilisable dans les calculs cinématiques.
Exercice d'application
Question : Un moteur électrique entraîne une poulie de rayon R = 0,15 m à la fréquence n = 1 200 tr/min. Calculer la vitesse angulaire omega et la vitesse tangentielle v d'un point sur le bord de la poulie. Calculer également l'accélération centripète an.
Voir la solution
Réponse : Conversion : n = 1 200 / 60 = 20 tr/s. Vitesse angulaire : omega = 2 x pi x 20 = 125,7 rad/s. Vitesse tangentielle : v = omega x R = 125,7 x 0,15 = 18,85 m/s. Accélération centripète : an = v² / R = (18,85)² / 0,15 = 355 / 0,15 = 2 370 m/s² (ou an = omega² x R = 125,7² x 0,15 = 2 369 m/s²). La valeur élevée de an montre les contraintes importantes subies par les points périphériques en rotation rapide.
