Logique combinatoire et séquentielle
La logique booléenne est le langage des systèmes numériques. En Première SI, on étudie les portes logiques, l'algèbre de Boole et les bascules pour modéliser et concevoir des automatismes simples.
Objectifs
- Identifier et utiliser les portes logiques de base (ET, OU, NON, NAND, NOR, XOR)
- Construire et analyser des tables de vérité
- Simplifier des expressions booléennes grâce aux théorèmes de l'algèbre de Boole
Les portes logiques de base
Une porte logique réalise une opération booléenne sur des signaux binaires (0 ou 1). Les portes fondamentales sont : NON (NOT) : S = a' — inverse l'entrée. ET (AND) : S = a.b — sortie 1 seulement si a ET b valent 1. OU (OR) : S = a+b — sortie 1 si au moins une entrée vaut 1. NAND : S = (a.b)' — ET suivi d'un NON. NOR : S = (a+b)' — OU suivi d'un NON. XOR : S = a⊕b — sortie 1 si les entrées sont différentes. Ces portes sont les briques de base de tout circuit numérique.
Tables de vérité
Une table de vérité liste toutes les combinaisons possibles des variables d'entrée et la sortie correspondante. Pour n variables, il y a 2^n lignes. Exemple pour S = a.b + c (3 variables, 8 lignes) : quand a=0,b=0,c=0 → S=0 ; a=0,b=0,c=1 → S=1 ; a=1,b=1,c=0 → S=1 ; a=1,b=1,c=1 → S=1. La table de vérité permet de vérifier une expression ou d'en trouver une à partir d'un cahier des charges logique.
Algèbre de Boole — théorèmes et simplification
L'algèbre de Boole permet de simplifier les expressions logiques pour réduire le nombre de portes nécessaires. Théorèmes fondamentaux : identité : a+0=a, a.1=a. Absorption : a+a.b = a, a.(a+b) = a. Idempotence : a+a=a, a.a=a. Complémentation : a+a'=1, a.a'=0. De Morgan : (a.b)' = a'+b', (a+b)' = a'.b'. Exemple de simplification : S = a.b + a.b' = a.(b+b') = a.1 = a. On utilise ces règles pour minimiser les circuits.
Logique séquentielle — les bascules
En logique séquentielle, la sortie dépend des entrées actuelles ET de l'état précédent (mémoire). La bascule RS est l'élément de base : Set met Q à 1, Reset met Q à 0. La bascule D (flip-flop) mémorise la valeur de D sur front d'horloge. La bascule JK est universelle (J=Set, K=Reset, J=K=1 → bascule). Les bascules sont au cœur des registres, compteurs et automates séquentiels utilisés dans les microcontrôleurs et les automates programmables (API).
Relations et formules clés
ET : S = a.b | OU : S = a+b | NON : S = a'Les trois opérations de base. Le point signifie ET, le + signifie OU, l'apostrophe ou la barre signifie NON.
(a.b)' = a' + b' | (a+b)' = a'.b'Permet de transformer un NAND en OU de NON, et un NOR en ET de NON. Indispensable pour simplifier et permuter les types de portes.
a + a.b = a | a.(a+b) = aSi une variable apparaît seule et dans un produit ou une somme avec d'autres, le terme complexe disparaît. Permet de réduire directement une expression.
Exercice d'application
Question : Soit la fonction S = a'.b + a.b'. Construis la table de vérité pour a et b, puis identifie la porte équivalente.
Voir la solution
Réponse : Table de vérité (a, b → S) : a=0,b=0 → S=0 (0'.0=1.0=0 ; 0.0'=0.1=0 ; S=0+0=0). a=0,b=1 → S=1 (1.1=1 ; 0.0=0 ; S=1). a=1,b=0 → S=1 (0.0=0 ; 1.1=1 ; S=1). a=1,b=1 → S=0 (0.1=0 ; 1.0=0 ; S=0). La sortie vaut 1 uniquement quand les entrées sont différentes : c'est la définition exacte de la porte XOR. Conclusion : S = a ⊕ b.
