Mécanique des fluides
La mécanique des fluides étudie le comportement des liquides et des gaz au repos (statique) et en mouvement (dynamique). En SI, on s'intéresse aux systèmes hydrauliques et pneumatiques : vérins, pompes, circuits de refroidissement, systèmes de freinage.
Objectifs
- Calculer la pression en un point d'un fluide au repos et appliquer la loi fondamentale de la statique des fluides
- Utiliser l'équation de continuité (débit Q = S × v) pour analyser l'écoulement dans une conduite
- Appliquer le théorème de Bernoulli et calculer les pertes de charge dans un circuit hydraulique
Pression et statique des fluides
La pression p est une force par unité de surface (p = F/S), exprimée en Pascal (Pa) ou bar (1 bar = 100 000 Pa). Dans un fluide au repos, la pression ne dépend que de la profondeur : p = p0 + ρ × g × h (loi fondamentale de la statique). Ici p0 est la pression en surface (souvent pression atmosphmosphérique 101 325 Pa), ρ est la masse volumique du fluide (eau : 1 000 kg/m³), g = 9,81 m/s² et h la hauteur de fluide au-dessus du point considéré. La pression augmente de 1 bar tous les 10 m de profondeur dans l'eau.
Débit et équation de continuité
Le débit volumique Q est le volume de fluide qui traverse une section S par unité de temps : Q = S × v (en m³/s), où v est la vitesse moyenne d'écoulement (en m/s). Pour un fluide incompressible (liquide) en régime permanent, le débit est conservé tout au long d'une conduite : Q = S1 × v1 = S2 × v2. Ainsi, si la section diminue, la vitesse augmente (et inversement). C'est l'équation de continuité, fondamentale pour analyser les écoulements dans des conduites de section variable.
Théorème de Bernoulli
Pour un fluide parfait (sans viscosité), incompressible, en écoulement permanent, la somme de la pression statique, de la pression dynamique et de la pression hydrostatique est constante le long d'un filet fluide : p + ½ρv² + ρgz = constante. Le terme ½ρv² est la pression dynamique (liée à la vitesse), ρgz est la pression de position (liée à la hauteur z). Bernoulli traduit la conservation de l'énergie le long du filet : si la vitesse augmente, la pression diminue (et réciproquement). Application : venturi, carburateur, aile d'avion.
Pertes de charge
Dans un circuit réel, le fluide perd de l'énergie par frottement contre les parois et les singularités (coudes, vannes, rétrécissements). Ces pertes de charge ΔP s'expriment en Pascal ou en mètre de hauteur de fluide (mCE : mètre de colonne d'eau). La formule de Darcy-Weisbach donne les pertes de charge linéaires : ΔP = λ × (L/D) × ½ρv² où λ est le coefficient de frottement, L la longueur de la conduite, D son diamètre, ρ la masse volumique et v la vitesse. Les pertes singulières s'ajoutent : ΔPs = K × ½ρv² (K dépend du type de singularité). Le Bernoulli réel devient : p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2 + ΔP_total.
Relations et formules clés
p + ½ρv² + ρgz = constantep est la pression statique (Pa), ρ la masse volumique (kg/m³), v la vitesse d'écoulement (m/s), g = 9,81 m/s², z la hauteur par rapport à une référence (m). Cette relation s'applique entre deux points du même filet fluide pour un écoulement permanent de fluide parfait incompressible.
Q = S × v → S1 × v1 = S2 × v2Q est le débit volumique (m³/s), S la section de passage (m²), v la vitesse moyenne (m/s). La conservation du débit impose que si S diminue, v augmente. Pour obtenir le débit massique qm (kg/s) : qm = ρ × Q.
p = p0 + ρ × g × hp est la pression absolue à la profondeur h (Pa), p0 la pression en surface (Pa), ρ la masse volumique du fluide (kg/m³), g = 9,81 m/s², h la hauteur de fluide (m). Dans l'eau (ρ = 1 000 kg/m³) : Δp = 1 000 × 9,81 × h ≈ 9 810 × h Pa, soit environ 0,1 bar par mètre.
Exercice d'application
Question : De l'eau (ρ = 1 000 kg/m³) circule dans une conduite horizontale. En section 1 : diamètre D1 = 0,10 m, pression p1 = 3 × 10^5 Pa, vitesse v1 = 2 m/s. La conduite se rétrécit en section 2 de diamètre D2 = 0,05 m. Calculer la vitesse v2 et la pression p2 en section 2 (conduite horizontale, fluide parfait).
Voir la solution
Réponse : Surfaces : S1 = π × (0,05)² = 7,854 × 10^-3 m² ; S2 = π × (0,025)² = 1,963 × 10^-3 m². Continuité : v2 = S1 × v1 / S2 = (7,854 × 10^-3 × 2) / (1,963 × 10^-3) = 8 m/s (ou plus simplement : v2 = v1 × (D1/D2)² = 2 × (0,10/0,05)² = 2 × 4 = 8 m/s). Bernoulli (z1 = z2, horizontal) : p1 + ½ρv1² = p2 + ½ρv2². Donc p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 3 × 10^5 + ½ × 1 000 × (4 − 64) = 3 × 10^5 + 500 × (−60) = 3 × 10^5 − 30 000 = 270 000 Pa = 2,7 × 10^5 Pa. La vitesse passe de 2 m/s à 8 m/s et la pression chute de 3 bar à 2,7 bar.
