Les liaisons mécaniques
Une liaison mécanique définit la connexion entre deux solides et détermine quels mouvements relatifs sont possibles (degrés de liberté) et lesquels sont bloqués (degrés de blocage). L'analyse des liaisons est essentielle pour modéliser, concevoir et dimensionner tout mécanisme.
Objectifs
- Identifier les liaisons normalisées (pivot, glissière, rotule, etc.) et leurs symboles.
- Déterminer le nombre de degrés de liberté d'une liaison et d'un mécanisme.
- Appliquer la formule de Grubler pour calculer la mobilité d'un mécanisme plan.
Degrés de liberté et de blocage
Un solide libre dans l'espace possède 6 degrés de liberté (DDL) : 3 translations (selon x, y, z) et 3 rotations (autour de x, y, z). Une liaison entre deux solides supprime certains de ces mouvements. Le nombre de DDL d'une liaison est le nombre de mouvements relatifs autorisés entre les deux pièces. Le nombre de blocages est 6 - DDL. Une liaison encastrement supprime tous les mouvements (DDL = 0, 6 blocages). Une liaison libre laisse tous les mouvements (DDL = 6, 0 blocage). Entre les deux, on distingue les liaisons normalisées selon la géométrie de contact.
Les liaisons normalisées principales
La liaison pivot (DDL = 1) autorise uniquement la rotation autour d'un axe (roulement à billes, axe de porte). La liaison glissière (DDL = 1) autorise uniquement la translation selon un axe (tiroir, piston dans cylindre). La liaison pivot-glissant (DDL = 2) autorise une rotation et une translation sur le même axe (vis à billes non bloquée). La liaison appui-plan (DDL = 3) : contact plan, autorise 2 translations et 1 rotation dans le plan. La liaison rotule (DDL = 3) autorise 3 rotations autour d'un point (rotule de direction automobile). La liaison linéaire annulaire (DDL = 4) : contact le long d'une droite, autorise 1 translation et 3 rotations. La liaison appui ponctuel (DDL = 5) : contact en un point, 3 translations et 2 rotations.
Modélisation et représentation
En dessin technique normalisé (ISO), chaque liaison a une représentation symbolique schématique qui indique les degrés de liberté. Le modèle est utilisé pour établir le schéma cinématique du mécanisme, qui représente uniquement les liaisons et les pièces mobiles sans tenir compte des formes réelles. Dans l'analyse d'un mécanisme, on identifie chaque classe de paires cinématiques, on liste les DDL de chaque liaison, puis on applique la formule de mobilité pour vérifier la cohérence du mécanisme (mécanisme isostatique, hyperstatique ou mobile).
Formule de Grubler et mobilité d'un mécanisme
La formule de Grubler (pour les mécanismes plans) calcule la mobilité m : m = 3 × (n - 1) - 2 × C1 - C2, où n est le nombre de pièces (y compris le bâti), C1 le nombre de liaisons à 1 DDL et C2 le nombre de liaisons à 2 DDL. Si m = 1 : mécanisme à 1 degré de liberté (mouvement déterminé). Si m = 0 : structure rigide (pas de mouvement). Si m > 1 : mécanisme sous-contraint. Si m < 0 : mécanisme hyperstatique (statiquement indéterminé). En espace 3D, la formule générale est : m = 6 × (n - 1) - somme des blocages de chaque liaison.
Relations et formules clés
DDL = 6 - nombre de blocagesUn solide libre a 6 DDL (3 translations T + 3 rotations R). Chaque contrainte de la liaison supprime 1 DDL. Exemples : pivot → DDL = 1 (5 blocages) ; glissière → DDL = 1 (5 blocages) ; rotule → DDL = 3 (3 blocages) ; encastrement → DDL = 0 (6 blocages).
m = 3 × (n - 1) - 2 × C1 - C2m : mobilité (nombre de DDL du mécanisme) ; n : nombre de solides dont le bâti ; C1 : nombre de liaisons à 1 DDL (pivot, glissière) ; C2 : nombre de liaisons à 2 DDL (pivot-glissant, appui-plan dans le plan). Si m = 1 : mécanisme correctement guidé avec 1 moteur.
Somme des blocages = 6 (en 3D) ou 3 (en 2D)Un solide est isostatique si le nombre total de blocages fournis par l'ensemble des appuis est égal au nombre de DDL à bloquer (6 en 3D, 3 en 2D), sans redondance. En pratique : bridage de pièce en usinage = règle du 3-2-1 (3 appuis + 2 appuis + 1 appui = 6 blocages en 3D).
Exercice d'application
Question : Un mécanisme plan est composé de 4 solides (bâti + 3 pièces mobiles) reliés par 4 liaisons pivot (1 DDL chacune). Calculer la mobilité du mécanisme avec la formule de Grubler et conclure.
Voir la solution
Réponse : Application de la formule de Grubler : m = 3 × (n - 1) - 2 × C1 - C2. Données : n = 4 solides, C1 = 4 liaisons pivot (DDL = 1), C2 = 0. Calcul : m = 3 × (4 - 1) - 2 × 4 - 0 = 9 - 8 = 1. Conclusion : la mobilité est m = 1, le mécanisme possède un seul degré de liberté. Il suffit d'un seul moteur pour commander entièrement son mouvement. C'est le cas du mécanisme quatre-barres classique (bâti + manivelle + bielle + balancier).
